Institut de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques de Paris

Marie-Françoise ROY

IRMAR - Université de Rennes 1

(Mercredi 26 avril 2017 -14 heures)

« Le 17ème problème de Hilbert: de l’algèbre abstraite à la construction d’identités algébriques »

        Le 17ème problème de Hilbert demande si un polynôme en plusieurs variables qui ne prend que des valeurs positives est une somme de carrés (dans le corps des fractions rationnelles).

        Sa solution autour de 1925 par Artin est un des triomphes de l’algèbre moderne. Mais cette preuve spectaculaire ne permettait pas de construire de sommes de carrés.

        Depuis, des progrès très lents ont permis de donner de telles constructions et de borner les degrés des polynômes intervenant dans la somme de carrés.  Les bornes explicites actuelles sont élémentairement récursives. La méthode de construction illustre le renouveau actuel des méthodes de l’algèbre constructive.

Référence :

H. Lombardi, D. Perrucci, M.-F. Roy, An elementary recursive bound for effective Positivstellensatz and Hilbert 17-th problem (preliminary version, arXiv:1404.2338v2).