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Séminaire d’épistémologie
> De la notion de fonction à celle d’opérateur
Résumé
Mercredi 4 avril 2018 Jean-Pierre DESCLÈS - « De la notion de fonction à celle d’opérateur» à 14h
La notion de fonction s'est lentement dégagée à partir des conceptions de Leibniz et d'Euler. Pour Leibniz (1673), la functio désigne les grandeurs dont les variations sont liées par une loi. Pour Euler, il faut que la loi représente analytiquement la fonction : « Functio quantitatis variabilis est expressio analytica quomodocumque compositia ex illa quantitate variabili et numeris seu contantibus quanti-tatibus » [La fonction d'une quantité variable est l'expression analytique formée de façon quelconque à partir des quantités variables et de nombres ou de quantités constantes]. Quant à la conception moderne de la fonction, elle est pensée et définie « comme un ensemble », c'est-à-dire comme un ensemble de couples (x,y) reliés entre eux par une relation (fonctionnelle). On peut alors très légitimement se poser la question suivante : « le concept ensembliste de fonction épuise-t-il complètement la représentation cognitive de la notion de fonction ? ». Cette conception ensembliste est-elle suffisante pour formaliser adéquatement certains processus fonctionnels que l'on modélise en linguistique, en psychologie cognitive, en informatique ?
Après un bref rappel historique de la notion de fonction, nous examinons différentes approches de la notion de fonction : (a) la fonction chez Frege (un concept est une fonction d’un domaine dans {Vrai, Faux}) caractérisée par son extension ; (b) la fonction exprimée dans la lambda-notation dans le lambda-calcul de Church, avec une analyse de quelques difficultés opératoires liées aux emplois des variables liées ; (c) les réseaux de concepts articulés avec les réseaux extensionnels dans la représentation des connaissances en Intelligence Artificielle, avec examen des difficultés liés aux problèmes de typicité ; (d) les fonctions qualifiées d’opérateurs dans l’analyse fonctionnelle ; (e) la fonction pensée comme un opérateur intrinsèquement composable et transformable par des opérateurs abstraits. Nous concluons sur les trois niveaux d’opératoire : (i) opérations concrètes ; (ii) approche algébrique des opérations formulée à l’aide de variables associées à des domaines de variation ; (iii) les opérateurs de composition et de transformation intrinsèques d’opérateurs quelconques, formalisés par les « combinateurs » de la logique combinatoire de Curry - Schönfinkel (1924/1967), Curry (1958, 1972), Hindley & Seldin (2008).
- Haskell Curry & R. Feys, Combinatory Logic , volume I, Amsterdam, North Holland, 1958
- Haskell Curry & J.R.Hindley, J.P. Seldin, Combinatory Logic , volume II Amsterdam, North Holland, 1972
- Jean-Pierre Desclés, « De la notion d’opération à celle d’opérateur ou à la recherche de mécanismes intrinsèques », Mathématiques et sciences humaines, 76, pp. 5-32, 1981.
- Jean-Pierre Desclés, « Une analyse non frégéenne de la quantification », in Pierre Joray (ed.) La quantification dans la logique moderne, Paris : L’Harmattan, pp. 263-312, 2005.
- Jean-Pierre Desclés et K. S. Cheong , « Analyse critique de la notion de variable (points de vue sémiotique et formel) », Mathématiques et sciences humaines, 173, pp. 43-102, 2006.
- Jean-Pierre Desclés, Anca Pascu, « Logic of Determination of Objects (LDO) : How to articulate ‘extension’ with ‘intension’ and ‘objects’ with ‘concepts’ », Logica Universalis, 5(1), pp. 75-89, 2011.
- Jean-Pierre Desclés, Anca Pascu, « The Cube Generalizing Aristotle’s Square in Logic of Determination of Objects (LDO)”, in Jean-Yves Béziau & Dale Jacquette (eds.) Around and Beyond the Square of Opposition, Birkhäuser, pp. 277-294, 2O12.
- Jean-Pierre Desclés, Gaëll Guibert, Benoît Sauzay, Logique combinatoire et lambda-calcul : des logiques d’opérateurs, Toulouse, Cépaduès Éditions, 2016.
-J. Roger Hindley & Jonathan P. Seldin, Lambda-calculus and combinators, an introduction, Cambridge University Press. 2008.
- M. Schönfinkel, “Über die Bausteine der mathematischen Logik”, Mathematische Annalen, 92, pp. 305-316, 1924, English translation : “On the building blocks of mathematical logic”, in J.van Heijenoort, From Frege to Gödel, Harvard University Press, pp. 355-366, 1967
La notion de fonction s'est lentement dégagée à partir des conceptions de Leibniz et d'Euler. Pour Leibniz (1673), la functio désigne les grandeurs dont les variations sont liées par une loi. Pour Euler, il faut que la loi représente analytiquement la fonction : « Functio quantitatis variabilis est expressio analytica quomodocumque compositia ex illa quantitate variabili et numeris seu contantibus quanti-tatibus » [La fonction d'une quantité variable est l'expression analytique formée de façon quelconque à partir des quantités variables et de nombres ou de quantités constantes]. Quant à la conception moderne de la fonction, elle est pensée et définie « comme un ensemble », c'est-à-dire comme un ensemble de couples (x,y) reliés entre eux par une relation (fonctionnelle). On peut alors très légitimement se poser la question suivante : « le concept ensembliste de fonction épuise-t-il complètement la représentation cognitive de la notion de fonction ? ». Cette conception ensembliste est-elle suffisante pour formaliser adéquatement certains processus fonctionnels que l'on modélise en linguistique, en psychologie cognitive, en informatique ?
Après un bref rappel historique de la notion de fonction, nous examinons différentes approches de la notion de fonction : (a) la fonction chez Frege (un concept est une fonction d’un domaine dans {Vrai, Faux}) caractérisée par son extension ; (b) la fonction exprimée dans la lambda-notation dans le lambda-calcul de Church, avec une analyse de quelques difficultés opératoires liées aux emplois des variables liées ; (c) les réseaux de concepts articulés avec les réseaux extensionnels dans la représentation des connaissances en Intelligence Artificielle, avec examen des difficultés liés aux problèmes de typicité ; (d) les fonctions qualifiées d’opérateurs dans l’analyse fonctionnelle ; (e) la fonction pensée comme un opérateur intrinsèquement composable et transformable par des opérateurs abstraits. Nous concluons sur les trois niveaux d’opératoire : (i) opérations concrètes ; (ii) approche algébrique des opérations formulée à l’aide de variables associées à des domaines de variation ; (iii) les opérateurs de composition et de transformation intrinsèques d’opérateurs quelconques, formalisés par les « combinateurs » de la logique combinatoire de Curry - Schönfinkel (1924/1967), Curry (1958, 1972), Hindley & Seldin (2008).
- Haskell Curry & R. Feys, Combinatory Logic , volume I, Amsterdam, North Holland, 1958
- Haskell Curry & J.R.Hindley, J.P. Seldin, Combinatory Logic , volume II Amsterdam, North Holland, 1972
- Jean-Pierre Desclés, « De la notion d’opération à celle d’opérateur ou à la recherche de mécanismes intrinsèques », Mathématiques et sciences humaines, 76, pp. 5-32, 1981.
- Jean-Pierre Desclés, « Une analyse non frégéenne de la quantification », in Pierre Joray (ed.) La quantification dans la logique moderne, Paris : L’Harmattan, pp. 263-312, 2005.
- Jean-Pierre Desclés et K. S. Cheong , « Analyse critique de la notion de variable (points de vue sémiotique et formel) », Mathématiques et sciences humaines, 173, pp. 43-102, 2006.
- Jean-Pierre Desclés, Anca Pascu, « Logic of Determination of Objects (LDO) : How to articulate ‘extension’ with ‘intension’ and ‘objects’ with ‘concepts’ », Logica Universalis, 5(1), pp. 75-89, 2011.
- Jean-Pierre Desclés, Anca Pascu, « The Cube Generalizing Aristotle’s Square in Logic of Determination of Objects (LDO)”, in Jean-Yves Béziau & Dale Jacquette (eds.) Around and Beyond the Square of Opposition, Birkhäuser, pp. 277-294, 2O12.
- Jean-Pierre Desclés, Gaëll Guibert, Benoît Sauzay, Logique combinatoire et lambda-calcul : des logiques d’opérateurs, Toulouse, Cépaduès Éditions, 2016.
-J. Roger Hindley & Jonathan P. Seldin, Lambda-calculus and combinators, an introduction, Cambridge University Press. 2008.
- M. Schönfinkel, “Über die Bausteine der mathematischen Logik”, Mathematische Annalen, 92, pp. 305-316, 1924, English translation : “On the building blocks of mathematical logic”, in J.van Heijenoort, From Frege to Gödel, Harvard University Press, pp. 355-366, 1967
Adresse
Le mercredi à 14 heures à l'Institut Henri Poincaré
11 rue Pierre et Marie Curie, 75005 Paris
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Jean-Pierre DESCLÈS
Professeur émérite à Paris-Sorbonne, STIH