Institut de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques de Paris

La plupart des champs vectoriels que nous utilisons en physique sont plutôt des formes différentielles déguisées. A titre d'exemple, considérons le concept de force F: Un des paradigmes les plus élémentaire de l'enseignement de la physique. Cependant, la force manifeste un caractère non vectoriel. Cet aspect de la force n'est pas fondé sur des considérations de mathématiques abstraites mais tient plutôt de considérations expérimentales! L'intensité de la force est mesurée par la quantité de travail W nécessaire pour déplacer une charge test le long d'un petit segment d’une courbe.
Localement, une courbe peut être identifiée avec son vecteur tangent , et le travail est un scalaire. Cela signifie que la force est une application qui fait correspondre un scalaire (W) à un vecteur . En d'autres termes, la force est une 1-forme.
Cette propriété de la force, et par contraste avec l’aspect vectoriel, rend la structure de produit scalaire superflue.
Les formes différentielles jouent un rôle central et omniprésent dans la formulation moderne de la physique mathématique, où variétés et groupes de Lie permettent de décrire la configuration et l'évolution temporelle des systèmes mécaniques. La description mathématique des observables en tant que mesures infinitésimales en mécanique moderne prescrit les formes différentielles comme choix naturel.
Les formes différentielles appartiennent au champ de la géométrie différentielle, influencée par l'algèbre linéaire. Comme les concepts quantitatifs d'espace et de temps sont, de ce point de vue, fondamentaux, le langage devient fondamentalement géométrique et peut être mieux décrit comme un calcul géométrique.
  Leibniz a clairement exprimé cet objectif en le baptisant calcul géométrique:
« Mais apres tous les progres que j'ay faits en ces matieres, je ne suis pas encor content de l'Algebre, en ce qu'elle ne donne ny les plus courtes voyes, ny les plus belles constructions de Geometrie. C'est pourquoy lors qu'il s'agit de cela, je croy qu'il nous faut encor une autre Analyse proprement geometrique ou lineaire, qui nous exprime directement, situm, comme l'Algebre exprime magnitudinem. (mLeibniz à Huygens Le 8 de Septembre, 1679)"

Et il ajouta
je croy qu'on pourroit manier par ce moyen la mecanique presque comme la geometrie et qu'on pourroit mesme venir jusqu'à examiner les qualites des materiaux, par ce que cela depend ordinairement de certaines figures de leur parties sensibles. Enfin je n'espere pas qu'on puisse aller asses loin en Physique avant que d'avoir trouuer un tel abrege pour soulager l'imagination. (annexe de la lettre)

Leibniz jamais ne découvrit la nouvelle méthode qu'il avait prédite.
Sa lettre à Huygens fut publiée en 1833, Grassmann (*) est parmi les rares qui ont eu connaissance de cette lettre.

Dans ce séminaire, nous nous intéresserons à montrer comment les formes différentielles donnent un nouvel éclairage aux fondements de la physique.
(*)Voir H. Grassmann, Geometrische Analyse geknüpft an die von Leibniz erfundene geometrische Characteristik, gekrönte Preisschrift der Fürstlich Jablonowskischen Gesellschaft. Leipzig, Weidmann'sche Buchhandlung, 1847.