Institut de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques de Paris

Siegmund PROBST
« Le traité de la quadrature arithmétique du cercle et les séries chez Leibniz (1672-1676) »

En dehors de quelques études sur la combinatoire, Leibniz n’est entré dans le domaine de la recherche mathématique qu'au cours de son séjour à Paris (1672-1676). Mais durant ces quatre ans et demi ce furent les mathématiques qui occupèrent la première place de ses études, comme le prouve la grande quantité de manuscrits qu’il a laissés. Ces manuscrits remplissent huit volumes imprimés, dont le sixième est maintenant publié. Il comprend les études et le traité sur la quadrature arithmétique du cercle, l'œuvre mathématique la plus vaste que Leibniz ait écrit. Non seulement il y produit une série infinie pour le cercle, mais il présente aussi la plupart de ses résultats antérieurs, et quelques nouveaux sur les suites et les séries, y compris le triangle harmonique. Dans cet exposé, je présenterai quelques-uns des résultats et discuterai les sources et les méthodes par lesquelles Leibniz y est parvenu.

Références
Gottfried Wilhelm Leibniz: Sämtliche Schriften und Briefe. Reihe VII: Mathematische Schriften, Berlin 1990sqq
vol. 3: Differenzen, Folgen, Reihen (1672-1676), 2003
online: http://www.gwlb.de/Leibniz/Leibnizarchiv/Veroeffentlichungen/VII3A.pdf
http://www.gwlb.de/Leibniz/Leibnizarchiv/Veroeffentlichungen/VII3B.pdf
http://www.gwlb.de/Leibniz/Leibnizarchiv/Veroeffentlichungen/VII3C.pdf
vol. 6: Arithmetische Kreisquadratur (1673-1676), 2012
online: http://www.gwlb.de/Leibniz/Leibnizarchiv/Veroeffentlichungen/VII6.pdf

Gottfried Wilhelm Leibniz: Quadrature arithmétique du cercle, de l’ellipse et de l’hyperbole (trad. Marc Parmentier), Paris 2004.

Michel Serfati: « Mathematical and philosophical aspects of the harmonic triangle in Leibniz », in: H. Breger et al. (ed.), Natur und Subjekt, Hannover 2011, pp. 1060-1069


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Michel SERFATI
« Mathématiques, métaphysique, et symbolisme chez Leibniz : le principe de continuité »

« Si un est le terme général d'une suite réelle telle que
un ≥ a pour tout n, et si un converge, alors lim un≥a »
Il est clair qu’un tel énoncé rencontre chez les mathématiciens contemporains, tout comme ceux du siècle dernier, une adhésion immédiate et spontanée, et qui n’est pas seulement attachée à sa validité intrinsèque (incontestable !), mais s’inscrit dans la reconnaissance d'un mode général de pensée sous-jacent, celui des «preuves par continuité».
Il y a eu cependant un temps où cette forme de pensée était étrangère à la pensée mathématique. C’est Leibniz, et lui seul, qui l’introduisit et la revendiqua. Dans cet exposé, j’analyserai les étapes épistémologiques de cette création.

Références :

GRANGER Gilles-Gaston, ‘Philosophie et mathématiques leibniziennes’, Formes, opérations, objets, Vrin. Paris. 1994, 199-240.

GROSHOLZ Emily, ‘Productive Ambiguity in Leibniz’s Representation of Infinitesimals’, Infinitesimal Differences, Controversies between Leibniz and his Contemporaries (U. Goldenbaum & D. Jesseph eds.). De Gruyter. Berlin. 2008, 154-170.

SERFATI Michel, 'The principle of continuity and the 'paradox' of Leibnizian mathematics', in The Practice of Reason: Leibniz and his Controversies. (M. Dascal ed.) Amsterdam: Benjamins (Controversies, volume 7), 2010. 1-32.