Institut de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques de Paris

* «L’analyse mathématique 1750-1850 : quelques réflexions», Christian Gilain

On connaît l’importance des développements de l’analyse mathématique dans la première moitié du XIXe siècle. En 1990, dans son ouvrage fondamental Convolutions in French Mathematics, 1800-1840, Ivor Grattan-Guinness remarquait: «This is a serious historiographical problem, for the 18th century contains highly relevant pre-history; but there are no comprehensive or authoritative histories of the work of that period» (vol. I, p. 65).
A la lumière des recherches effectuées depuis une vingtaine d’années, nous nous proposons de réfléchir à l’intérêt, pour l’historiographie de l’analyse, d’une meilleure connaissance des travaux mathématiques de la seconde moitié du XIXe siècle.


* «Charles Hermite et les fondements de l'analyse arithmétique algébrique», Catherine Goldstein

Vers le milieu du 19e siècle, la confluence de l'étude des fonctions réelles et complexes, des équations algébriques et des formes quadratiques dessine un nouveau champ de recherches, auquel contribuent de nombreux mathématiciens, comme Dirichlet, Kronecker et Liouville.
L'exposé sera consacré à la pratique de Charles Hermite dans ce champ, en particulier à la manière, paradoxale dans la perspective d'une histoire usuelle des fondements et de la logique, dont il en assure la fondation par une expérimentation contrôlée.


* «A New-Old Formulation of Arithmetic», Ivor Grattan-Guinness

Numbers and arithmetic have played a central role in the development of mathematics seemingly since antiquity and in all cultures. Nevertheless, numbers remain elusive objects, if indeed they are objects of any kind at all.
The purpose of this article is to propose a formulation of integers and arithmetic that seems to be new, although all its components are known.


* «Théorie des ensembles: de passeurs de Cantor à von Neumann», Marcel Guillaume

Les biographes de Julius König nous le donnent pour un proche de Cantor, avant la période de sa vie où il devient Académicien à Budapest et s'occupe activement d'animer le vie mathématique à tous les niveaux dans son pays.
Il écrit, en particulier, ses posthumes Neue Grundlagen der Logik, Arithmetik und Mengenlehre, dont Dmitry Mirimanoff sera chargé de rendre compte, et qui donneront à ce dernier l'envie, puis l'occasion, d'écrire des articles échevelés d'où surgissent néanmoins de réels progrès dans le développement de la théorie des ensembles, notés par José Ferreiros dans son Labyrinth of Thought.
Von Neuman atteste sa connaissance, entre autres, de ces auteurs, qui eux-mêmes font parfois référence à d'autres sources. Nous montrerons comment ils ont approché, de manières que von Neumann semble ne pas avoir jugées suffisamment élaborées pour être dignes de références, les plus caractéristiques des traits distinctifs de sa théorie des ensembles.


* «Lebesgue sur Hermite et les ‘démonstrations dites élémentaires' de la transcendance de e et π (1932)», Michel Serfati

La première preuve de transcendance d'un nombre usuel de l'analyse (e) est due à Charles Hermite (1873). Pour ce faire, il mit en place une remarquable transmutation d'une démonstration classique d'irrationalité de e (due à Fourier) pour conclure à une preuve de transcendance.
Il n'existe aujourd'hui encore «aucune méthode de preuve de transcendance qui soit fondamentalement différente de celle d'Hermite» (M. Waldschmidt). Lindemann, se situant entièrement dans la voie qu'Hermite avait ainsi ouverte, établit ensuite (1882) la transcendance de π, et par là l'impossibilité de la quadrature du cercle. Une cinquantaine d'années plus tard (1932), Henri Lebesgue livra dans l'Enseignement Mathématique une remarquable analyse, tant historique qu'épistémologique, de ces deux importants résultats.
C'est à ce texte que je consacre cet exposé.