Institut de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques de Paris

« Le raisonnement ampliatif en théorie des nombres »

Dans toute recherche mathématique sérieuse, la résolution des problèmes permet typiquement d’élargir le savoir, en allant au delà de ce qui est communément accepté, et de ce qui est donné dans la formulation du problème. Un tel fait concernant la recherche a été obscurci par les hypothèses des philosophes logicistes des mathématiques, qui prétendent – ou souhaitent – que le raisonnement mathématique peut être traduit dans les termes de la logique des prédicats, puis placé dans la caisse fermée d’un système axiomatique, lui même établi à partir des principes premiers par la logique déductive. En premier lieu cependant, cette façon de procéder relève de la résolution des problèmes dans le cadre d’une salle de classe ou d’un manuel d’enseignement, et non pas de la recherche mathématique. En second lieu, le raisonnement mathématique est véhiculé par des langages extrêmes spécifiques, à la fois symboliques et iconiques, qui ont été créés dans le but de résoudre certains types de problèmes : toute traduction univoque (par exemple, vers la logique des prédicats) amenuise le pouvoir d’expression, d’explication et d’exploration de ces langages. Troisièmement, s’il arrive quelquefois que la traduction renforce le pouvoir expressif, explicatif et exploratoire des langages mathématiques, c’est seulement quand des langages hétérogènes sont en cause : ils sont juxtaposés, superposés et inscrits dans une nouvelle relation rationnelle par la langue naturelle. Je pense qu’il est donc philosophiquement enrichissant d’analyser comment, en fait, l’accroissement du savoir mathématique se produit. J’utiliserai des épisodes spécifiques de la théorie algébrique des nombres pour montrer comment la résolution des problèmes vient ajouter un contenu significatif au savoir mathématique. On examinera l’utilisation du corps Q[√-1] de nombres algébriques et, plus généralement, des racines n-ièmes de l’unité et de leurs corps cyclotomiques associés.