Institut de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques de Paris

Le triangle harmonique de Leibniz (à la suite de Mengoli) est doublement opposé au triangle arithmétique de Blaise Pascal, sur le plan structurel : différences en place de sommes quant à la récurrence, inverses d'entiers en place d'entiers quant à la suite génératrice. En termes modernes, si pour le triangle arithmétique on a :

C(n, p) = C(n-1, p)+ C(n-1, p-1) (n-1≥p≥1) (1)

et C(n, 0) = C(n,n) = 1 (n≥1 ) (1')

Alors, pour le triangle harmonique:

K(n, p) = K(n-1, p-1)- K(n,p-1) (n-1≥p≥0) (2)
et (n≥0) : K(n,0) = (2')

Son invention et ses propriétés témoignent d'une exceptionnelle créativité mathématique. Dans cet exposé, on en détaillera quelques aspects.