Institut de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques de Paris

Les définitions formelles font intervenir un mélange subtil de quantificateurs existentiels et universels, ce qui n’est pas sans poser quelques problèmes didactiques, qui apparaissent dès la continuité et la dérivabilité, et se poursuivent avec l’uniformité .     Pourtant, en analyse et en géométrie la distinction entre ces deux points de vue est essentielle, l’un des objectifs fréquents étant de globaliser une propriété locale. Ainsi, en géométrie ou topologie, définir un objet par des propriétés des voisinages de chacun de ses points n’en assure pas en général une caractérisation globale, il faut y rajouter des propriétés elles-mêmes globales ; c’est par exemple le cas des variétés. En analyse, les relations entre les divers types de convergence : ponctuelle, uniforme sur tout compact, uniforme, posent aux étudiants de redoutables problèmes, liés aux rapports entre local et global et à la traduction de ces rapports en termes de quantificateurs. Un autre aspect concerne la globalisation de propriétés locales de fonctions définies sur des espaces topologiques ayant certaines propriétés globales.    Ainsi, pour les étudiants, comprendre si une notion est locale ou globale n'est pas immédiat, pour plusieurs raisons didactiques voire épistémologiques. D'une part, le point de vue local est quasi-inexistant au lycée. D'autre part, les processus de globalisation restent réservé, à l'université, à l'enseignant magistral. De plus, certains énoncés ont une version locale et une globale, sans que ce soit toujours dit. Enfin, l'utilisation du local s'appuie souvent sur une existence non explicite, qui paraît inhabituelle aux étudiants.     Au-delà de ces aspects techniques, certaines grandes questions font intervenir de façon essentielle un point de vue local ou un point de vue global : il s'agit donc de problématiques. Le problème de la résolution des équations différentielles est typiquement une recherche de passage du local au global. Le problème de la mesure des grandeurs par la notion d’intégrale se présente d’abord comme un problème de nature globale, mais sa mise en œuvre, en particulier en physique, demande de partir de notions locales et/ou idéales et de mettre au point un procédé particulier de globalisation : la procédure intégrale.     Ce double point de vue local-global se retrouve ainsi en physique élémentaire, en particulier dans les processus de modélisation ou mise en équation, où les instruments privilégiés sont souvent les équations différentielles ou aux dérivées partielles, d’une part, et la mesure ou la définition de grandeurs par des intégrales, de l’autre. L’application des lois de la physique aux situations étudiées met ainsi en jeu divers niveaux possibles, avec souvent des allers-retours entre local et global. De plus ces niveaux opposent souvent une approche par de grands principes de la physique (qui semblent obscurs et peu explicatifs aux étudiants) à une approche locale plus "concrète" et explicative, mais plus délicate dans son utilisation des infiniment petits.      L’analyse d’un certain nombre de difficultés didactiques des élèves ou étudiants sur ces diverses questions nous fait penser qu’un enjeu important de l’enseignement est sans doute de développer chez eux une prise de conscience de l’existence des points de vue local et global, et d’assurer l’apprentissage de certaines méthodes dans la recherche de leur mise en œuvre.