Institut de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques de Paris

Mercredi 17 janvier 2018 Claude Merker - « Les traités de Pascal sur la Roulette »

Les sept traités de Pascal sur la Roulette (cycloïde), auxquels on peut adjoindre la Lettre à Huygens, sont peu connus. On tentera de justifier le jugement d’Émile Picard : « c’est le premier traité de calcul intégral » en montrant qu’ils forment un tout très articulé. Pascal invente une machinerie savante de « sommes », vrais calques anticipés d’intégrales leibniziennes pourvu que l’on accepte de faire abstraction de leur nature résolument géométrique. Rien jusqu’en 1658 ne ressemble à ces « sommes » dont les éléments différentiels subissent des transformations vertigineuses pour venir à bout des problèmes de roulette. La géométrie n’hésite pas à quitter le domaine du sensible pour servir d’algèbre à l’auteur qui n’utilise d’autre notation que les lettres pour désigner des points. Sans un art consommé du sous-entendu issu de la liberté des définitions, sans une mise en ordre déconcertante au premier abord (que viennent faire ces traités généraux et ces traités de cercle, dans un ouvrage prétendument sur la Roulette alors que cette dernière fait une apparition tout au début pour disparaître presque jusqu’à la fin?), Pascal n’aurait pu écrire cet ensemble de sept traités qui résout pour ainsi dire tous les problèmes à la fois. On tentera de donner une idée de la manière de Pascal en amorçant plusieurs calculs pour voir l’objet mathématique mis en œuvre et ce qui distingue Pascal de ses contemporains.