Institut de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques de Paris

Michel Serfati :
Cet exposé est essentiellement consacré aux aspects mathématiques d'un théorème de Lambert (1761), qui démontra, pour la première fois dans l'histoire, l'irrationalité de pi : ainsi écrit-il dans son exposé des motifs, "le rapport de la circonférence au diamètre n'est pas comme un nombre entier à un nombre entier". Cette démonstration, neuve et complexe pour l'époque (elle utilise des fractions continues généralisées et fut méticuleusement analysée par Lebesgue) n'était cependant pas tout à fait la première preuve d'irrationalité d'un nombre transcendant. Lambert avait été en effet précédé par Euler (1737) qui, utilisant des fractions continues usuelles, avait conclu (un peu confusément toutefois !) à l'irrationalité de e et de diverses quantités associées à l'exponentielle. L'idée de Lambert était en vérité remarquable, montrer que V et tan V (resp. eV) ne peuvent être rationnelles ensemble. Mais le mémoire est aussi remarquable à un autre titre : dans son paragraphe terminal, Lambert pose en effet la première définition véritablement moderne de la transcendance d'un nombre (en dépit de leurs tentatives, ni Leibniz, ni Euler ne l'avaient précédé sur ce terrain !).
Ce fut un fait épistémologiquement capital.

Michel WALDSCHMIDT :
Les premiers nombres dont on saura par la suite qu'ils sont transcendants et dont l'irrationalité a été prouvée sont e et pi. Les démonstrations initiales (Euler, Lambert) reposaient sur la théorie des fractions continues. Fourier a donné en 1815 une démonstration beaucoup plus simple de l'irrationalité de e, en tronquant le développement de Taylor de la fonction exponentielle à l'origine. Cette preuve a été reprise par Liouville peu avant sa découverte en 1844 des premiers exemples de nombres transcendants. Le travail de Hermite en 1873, qui le conduit à la transcendance de e, et qui conduira Lindemann à la transcendance de pi en 1882, peut être vu comme une généralisation de cette démonstration de Fourier, même si Hermite se place plutôt en continuité avec l'œuvre de Lambert.
Le théorème de Hermite-Lindemann sur la transcendance de eα pour α nombre algébrique non nul a conduit Weierstrass à étudier les valeurs algébriques de fonctions transcendantes en des points algébriques.
Nous ferons le point sur cette question.