Institut de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques de Paris

Mercredi 1er juin 2016 Michel SERFATI - «À la recherche d’une fraction continue - pour la tangente. Lambert et l’irrationalité de π. Anatomie d’un théorème » à 14h à l'institut Henri poincaré

Lambert a 33 ans en 1761 quand il adresse à l'Académie des Sciences de Berlin un article écrit en français, "Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes circulaires et logarithmiques". Le texte s'ouvre sur cette maxime : « Que le rapport de la circonférence au rayon ne soit pas ce qu'un nombre entier est à un nombre entier, c'est là une chose dont les géomètres ne seront point surpris ». Lambert va alors se consacrer à une admirable démonstration de l’irrationalité de π, d'une très étonnante complexité mathématique et d'une remarquable rigueur. L’analyse épistémologique de sa méthode conduit à mettre en lumière diverses techniques (le plus souvent associées à des fractions continues) que je détaillerai dans le cours de mon exposé. Le mémoire se conclut par deux brèves et importantes pages où l’on voit Lambert produire la définition d’un concept nouveau à son époque, à la source de l’authentique bulletin de naissance de la théorie moderne actuelle des nombres transcendants. Ce fait est épistémologiquement capital. On détaillera l'argument central (exclusivement symbolique) qui organisa la suprématie du concept de Lambert par rapport à celui d'Euler. Cet exposé reprend et développe (très largement !) un texte contenu dans l’ouvrage « Quadrature du cercle, fractions continues, et autres contes » que j’ai jadis publié dans le cadre des brochures de l’APMEP.