Institut de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques de Paris

Un discours mathématique efficace doit mener à bien deux tâches simultanément, l’analyse (au sens de Leibniz) et la référence. La référence réclame un discours qui est typiquement plus concret, présentant un affichage public clair des choses en question et une taxinomie utile à leur propos; l’analyse, typiquement plus abstraite, recherche les conditions de l’intelligibilité de ces mêmes choses et les conditions de résolution des problèmes dans lesquelles elles apparaissent. (Les choses mathématiques sont problématiques, et se révèlent dans le contexte de familles de problèmes qui leur sont associés). La question est alors celle-ci : comment ces discours disparates peuvent-ils s’intégrer - se réunir dans le cadre d’une relation rationnelle ? Dans cette présentation, je montre d’abord comment les discours relatifs aux courbes elliptiques et aux formes modulaires se sont intégrés en des résultats conduisant à la démonstration de Wiles du dernier théorème de Fermat ; et je montre alors que ces résultats, qui apparaissent dans le discours de la théorie analytique des nombres se sont ensuite intégrés dans le discours de la logique (la théorie des modèles). Le point philosophique est que ce qui apparaît comme un discours ‘analytique’ dans un contexte, peut sembler être un discours ‘référentiel’ dans un autre contexte. De plus, ce qui demeure tacite pour un mathématicien vis à vis d’un certain objectif, peut devoir être rendu explicite pour un autre mathématicien, avec un objectif autre. L’intégration de ces diverses perspectives produit souvent, et aussi dirige, la croissance du savoir mathématique.