Institut de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques de Paris

Mercredi 12 octobre 2016 Michel SERFATI - «Algèbre et topologie chez Stone. 'On doit toujours topologiser'» à 14h à l'institut Henri poincaré

Dans un article fondateur de 1936, Stone explique comment la structure d'algèbre de Boole abstraite avait été créée à partir de l'ensemble P(E) de toutes les parties d'un ensemble E, instance «concrète» munie de ces opérations spontanées que sont la réunion, l'intersection (toutes deux finies) et la complémentation ensemblistes. Depuis que l'axiomatique abstraite avait été proposée, aucun autre exemple ne s'était cependant présenté, à l'exception évidemment de l'instance substantiellement analogue constituée d'une simple sous-algèbre de ce même P(E). Y avait-t-il donc autre chose, sous l'axiomatique abstraite, que l'exemple concret fondateur, celui des algèbres de classes ? Á ce questionnement, épistémologiquement central, Stone, utilisant des méthodes « idéales » (stricto sensu) aussi remarquables qu’entièrement nouvelles, apporta des réponses décisives, en mettant en place deux représentations, algèbrique d’abord, topologique ensuite, avant de mettre en regard ces deux points de vue (dualité de Stone). Et il conclura « Un principe cardinal de la recherche mathématique moderne peut être ainsi énoncé : ‘On doit toujours topologiser’». Dans cet exposé, je mettrai directement en lumière les objectifs de Stone, les difficultés mathématiques naturelles qu’il a rencontrées, et les solutions, souvent inattendues, toujours épistémologiquement remarquables, qu’il leur a apportées. SERFATI Michel, 'Du psychologisme booléen au théorème de Stone', Pour comprendre le XIX°, Histoire et philosophie des sciences à la fin du siècle (J-C. Pont, L. Freeland, F. Padovani, L. Slavinskaïa eds.), Olschki. Firenze. 2007, 145-169 SERFATI Michel, ‘Sur l’abstrait et le concret en mathématiques, et l’axiomatique, dans l’œuvre de Marshall Stone’, Notae Philosophicae Scientiae Formalis, vol. 2, n. 2, pp. 175 - 191, octobre 2013. En ligne : http://gcfcf.com.br/pt/files/2013/12/Serfati-NPSF-v.-2-n.-2.pdf