Institut de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques de Paris

Nous savons tous qu'il y a en mathématiques des propositions que l'on ne peut ni démontrer ni réfuter, comme par exemple l'axiome du choix ou l'hypothèse du continu. On entend aussi parler parfois de propositions « vraies » mais « non démontrables ». Qu'est-ce que tout cela signifie au juste ? Et l'existence de telles propositions est-elle inévitable ? La notion de « modèle de la théorie des ensembles » aide à y voir plus clair. Bien entendu, il faut préciser ce que veut dire « démontrer » ! Partant de considérations très élémentaires sur les groupes, nous expliquerons ce qu'est une théorie complète et pourquoi les mathématiques sont irrémédiablement incomplètes.