Institut de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques de Paris

« Sur la théorie des connexions de Cartan et sa pertinence par rapport à la physique de l’espace-temps»

Dans la théorie des connexions de Cartan s’accordent plusieurs motifs fondamentaux de la pensée géométrique de la première moitié du XXème siècle, notamment le programme d’Erlangen de Klein, le programme d’une « géométrie purement infinitésimale » de Weyl, le principe de symétrie infinitésimale affine (et non pas seulement linéaire) de Cartan et la géométrie riemannienne telle qu’elle a été reprise dans le cadre de la théorie générale de la relativité d’Einstein. Tandis que les connexions d’Ehresmann sont la contrepartie géométrique des “champs de jauge” de la théorie de Yang-Mills (théorie qui fournit une description géométrique des interactions électromagnétique et nucléaires), les connexions de Cartan permettent de reformuler (et de généraliser) la relativité générale de façon telle que la variable fondamentale ne soit pas la métrique de l’espace-temps mais plutôt une connexion. Cette reformulation permet de revisiter sous une nouvelle lumière le projet de comprendre la relativité générale comme une « théorie de jauge », c’est-à-dire comme une théorie qui décrit une connexion dynamique dans un espace fibré sur l’espace-temps