Institut de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques de Paris

Les objets et notions à la base sont totalement élémentaires : d'une part les triplets pythagoriciens (x, y, z) où x, y, z sont des entiers vérifiant x 2 + y 2 = z 2 et d'autre part une certaine involution R du cercle unité X 2 + Y 2 = 1.

Cette involution « s'homogénéise » et fournit une puis trois transformations linéaires de dimension 3, qui sont en fait des éléments du groupe orthogonal O(X 2 + Y 2 – Z 2).
Ces trois opérateurs orthogonaux (à coefficients entiers) permettent la génération de tous les triplets pythagoriciens en un sens très précis. Nous expliquons ensuite en quoi l'involution initiale R du cercle est en réalité la trace sur le plan {z = 1} d'un retournement de dimension 3 pour la métrique x 2 + y 2 – z 2.

La fin de l'exposé pourra être consacrée à la notion d'orthogonalité au sens
x 2 + y 2 = z 2
et si le temps ne manque pas, nous pourrons aborder l'isomorphisme
PGL(2,K) ~ SO(K 3, x 2 + y 2 = z 2).

Aucune connaissance particulière n'est requise pour cet exposé.